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高一上学期数学单元培优测试卷
集 合 解 析 版
考生注意: 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.
2. 请将各题答案填写在答题卡上.
第 Ⅰ 卷（选择题 共60分）
一、选择题（每小题5分,共60分）
1 .已知集合 , ,则 【 】
（A） （B） （C） （D）
答案 【 C 】
解析本题考查并集运算.求两个集合的并集时,根据集合元素的互异性,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.
∵ ,
∴ .
2 .下列集合表示同一集合的是【 】
（A）
（B）
（C） ,
（D） ,
答案 【 B 】
解析本题考查集合相等.
对于（A）,集合 M、 N表示的是两个不同的点集;
对于（B）,根据集合元素的无序性, ,符合题意;
对于（C）,集合 M表示的是直线 上的所有点构成的集合,是点集.集合 N表示的是函数 的函数值构成的集合,是数集.因此它们是两个不同的集合;
对于（D）,集合 M中的元素表示等式,集合 N为函数 的值域,即 .
3 .已知全集 ,集合 , ,则（C _U A） （C _U B） 【 】
（A） （B） （C） （D）
答案 【 C 】
解析本题考查 德·摩根定律:（C _U A） （C _U B） C _U .
,
∴
∴（C _U A） （C _U B） C _U .
4 .已知集合 , ,则【 】
（A） （B）
（C） （D） R
答案 【 A 】
解析本题考查交集和并集运算.
∵ ,
∴ , .
5 .下列关系中正确的个数是【 】
① ; ② ; ③ ; ④ ; ⑤ ; ⑥ ; ⑦ ;
⑧ .
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
答案 【 B 】
解析本题考查集合与元素之间的关系以及空集的性质.注意空集是任何集合的子集（包括它本身）,空集是任何非空集合的真子集.
对于⑥,集合 是只有一个元素 的集合,所以 ;
对于⑧,集合 为非空集合,所以 .
正确的关系为⑤⑥⑦⑧,共有4个.
6 .已知集合 , ,若 有三个元素,则实数 的取值集合为【 】
（A） （B） （C） （D）
答案 【 B 】
解析本题考查集合元素的互异性和并集运算.
∵ 有三个元素,且
∴分为两种情况:
①当 时,解之得: 或 ,均符合题意;
②当 时,解之得: ,符合题意.
综上所述,实数 的取值集合为 .
7 .已知集合 , , ,若 , ,则必有【 】
（A） （B）
（C） （D） 不属于集合 A、 B、 C中的任何一个
答案 【 B 】
解析由题意可得: ,其中 Z.
∴ .
8 .已知集合 , .若 ,则实数 的取值范围是【 】
（A） （B）
（C） （D）
答案 【 D 】
解析本题可根据 补集思想,采用“ 正难则反”的解题策略: 对于某些问题,如果从正面求解比较困难,则可考虑先求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则A的补集即为所求.
原理: C _U （ C _U A ） .
当 时,则有 ≤ 或 ≥3
解之得: ≤ 或 ≥3
∴当 时,实数 的取值范围是 .
9 .已知全集 R,集合 ,则C _U M 【 】
（A） （B）
（C） （D）
答案 【 C 】
解析
∴C _U M .
10 .已知集合 , ,若 ,则实数 满足【 】
（A） ≤ （B） （C） （D） ≥
答案 【 A 】
解析本题考查集合的运算与集合之间的关系的转化.
集合 A表示的是函数 的自变量的取值范围.
.
∵ ,∴ .
∴ ≤ ,即实数 的取值范围是 .
11 .已知 , ,若 ,则实数 的取值范围为【 】
（A） （B） （C） （D）
答案 【 B 】
解析分为两种情况:
①当 时,符合题意,此时 ,解之得: ;
②当 时,由题意可知:方程 有两个负实数根.
∴ ,解之得: ≥2.
综上所述,实数 的取值范围为 .
重要结论
一元二次方程 有两个正根的条件是:

一元二次方程 有两个负根的条件是:

12 .若用 表示非空集合 A中元素的个数,定义 ,已知 , ,且 ,设实数 的所有可能取值构成集合 S,则 【 】
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
答案 【 B 】
解析方程 必有实数根, .
分为两种情况:
①当 时, ,此时方程 有两个相等的实数根,且方程 无实数根,所以 ,解之得: ;
②当 时, ,此时方程 有两个不相等的实数根（若有两个相等的实数根,则 ,不符合题意）,且方程 有两个相等的实数根,所以 ,解之得: :
综上所述,实数 的所有可能取值构成集合 .
∴ .
第 Ⅱ 卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分,共20分）
13 .集合 的真子集的个数为__________.
答案3
解析本题考查真子集个数的确定.
结论 若集合A含有 个元素,则集合A有 个真子集,有 个非空真子集.
∵
∴其真子集的个数为 .
14 .若集合 , ,若 的元素只有一个,则 的取值集合是_____________.
答案
解析由题意可知方程 ,即 只有一个实数根或有两个相等的实数根.
①当 时,解之得: ,此时 , ,符合题意;
②当 时,方程 有两个相等的实数根.
∴ ,解之得: ,此时 , ,符合题意.
综上所述, 的取值集合是 .

15 .已知全集 ,集合 ,则C _U A _____________.
答案
解析当 时, ; 当 时, ; 当 时, ; 当 时, .
∴
∴C _U A .
16 .已知集合 T是方程 的解组成的集合,集合 ,
,且 , ,则实数 __________, __________.
答案 , 40
解析由题意可知:方程 必有两个不相等的实数根.
∵ ,∴
∵ ,且 T中含有2个元素
∴ .
∴ 和 都是方程 的实数根,由根与系数的关系定理得:
,解之得: .
三、解答题 （共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17 .（ 本题满分10分）
已知集合 , , .
（1）求 ,C _R ;
（2）若 C _R C,求实数 的取值范围.
解:（1）∵ ,
∴ .
∴ R
∴ C _R ;
（2）∵
∴C _R C
∵ C _R C
∴ 或 ,解之得: 或 .
∴实数 的取值范围是 .
18 .（ 本题满分12分）
设集合 , .
（1）若 ,求实数 的值;
（2）若 ,求实数 的取值范围.
解:（1）
∵ ,∴ .
把 代入方程 得:
,解之得: 或 ;
（2）∵ ,∴ .
①当 时, ,解之得: ;
②当 时, 或 或 :
若 或 ,则 ,解之得: ,此时 ,符合题意;
若 ,则由根与系数的关系定理可得: ,显然无解.
综上所述,实数 的取值范围是 .
19 .（ 本题满分12分）
已知集合 ,集合 .
（1）当 时,求 ;
（2）若 ,求实数 的取值范围;
（3）若 ,求实数 的取值范围.
解:（1）当 时, .
∴ ;
（2）∵ ,∴ ,则有:
,解之得: ≤ .
∴实数 的取值范围是 ;
（3）∵
∴分为两种情况:
①当 时,则有 ≥ ,解之得: ≥ ;
②当 时,则有 ,解之得:0≤ ,或 ,无解.
综上所述,实数 的取值范围是 .
20 .（ 本题满分12分）
设集合 ,集合 ,若 B中恰有4个元素.
（1）求实数 的取值范围;
（2）定义 ,求 中元素的个数.
解:（1）∵ ,且 B中恰有4个元素
∴实数 的取值范围是 ;
（2）由题意可知: .
∴ ,
∵
∴ .
∴ 中元素的个数为10.


21 .（ 本题满分12分）
已知集合 , , ,且
, ,求实数 及 的值或取值范围.
解: ,
∵ ,∴ .
当 ,即 时, ,符合题意;
当 ,即 时, ,符合题意.
综上所述,实数 的值为2或3.
∵ ,∴ .
①当 时,符合题意,此时 ,解之得: ;
②当 时, 或 或 :
若 或 ,则 ,解之得: ,此时 或 ,显然不符合题意;
若 ,则由根与系数的关系定理可得: ,解之得: .
综上所述,实数 的取值范围是 .
22 .（ 本题满分12分）
已知集合 , .
（1）若 ,存在集合 M使得 ,求这样的集合 M;
（2）若集合 P是集合 Q的一个子集,求 的取值范围.
解:（1） .
当 时,
∵
∴ 或 或 或 或 或 ;
（2）∵集合 P是集合 Q的一个子集
∴分为三种情况:
①当 时, ,解之得: ;
②当 中只有一个元素时, ,解之得: ,此时 ,不符合题意,舍去;
③当 P中有两个元素时,由根与系数的关系定理知两根之和为3,因为 ,所以显然不符合题意,舍去.
综上所述, 的取值范围为 .